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有关分数的另类题目的解题法和编题法
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有关分数的另类题目的解题法和编题法
发布日期:2022-08-17 02:44    点击次数:172
                 有关分数的另类题目的解题法和编题法       一个分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数,它的大小不变,这是分数的基本性质。但是,如果是分子和分母加上或减去一个数呢?这与分数的基本性质有什么关系?我们来看看下面的题目。(为了输入方便,把5分之3写成3/5,分数都这样写)        第一题、把分数53/71的分子和分母分别加上同一个数,其结果是7/9。加上的这个数是多少?         分析:         一、一个分数的分子和分母都分别加上或者减去相同的数,这个分数的分子和分母的差都不会变。分数53/71,它分子与分母的差是71-53=18,无论分子和分母加上或者减去一个什么相同的数,这个差始终是18。         二、再来看7/9,它分子和分母的差是9-7=2。本来应该是不变的,为什么18变成了2呢?是因为约了分,约分是把分子、分母缩小了相同的倍数。18变成了2,就是缩小了18÷2=9倍,现在我们把它变回去,使分子与分母的差仍然是18,就把7/9的分子、分母都扩大9倍,得63/81,它的分子与分母就相差81-63=18了。         三、把53/71的分子、分母分别加上一个什么数后,其结果是63/81(也就是7/9)呢?显而易见是63-53=10(或者81-71=10)。 问题解决了,加上的这个数是10。         用同样的分析方法,我们可以解决下题:        把分数41/57的分子和分母分别减去同一个数后,得到7/11,减去的这个数是多少?(答案是:13)         当然,这样的题目我们自己也能够编出来。要注意的是:分子和分母加上或者减去同一个数后,所得的分数要能够约分。比如:         1、17/23,分子分母都加上5,得22/28,约分得11/14。         编题:把17/23的分子和分母分别加上同一个数后,得到        11/14,加上的这个数是多少?         2、41/53,分子分母都减去11,得30/42,约分得5/7。题目自己可以编了。         第二题、分数13/71的分子加上一个数,分母减去相同的数后,得到5/9,加上或减去的这个数是多少?         分析:         一、一个分数的分子加上一个数,分母减去相同的数后,这个分数的分子与分母的和不变。分数13/71,它分子与分母的和是      13+71=84,无论分子加上、分母减去一个什么相同的数,这个和总是84。         二、再看5/9,它分子分母的和是5+9=14,原来是84,现在变成了14,缩小了84÷14=6倍。把5/9的分子分母都扩大6倍得    30/54,其分子分母之和就是30+54=84了。         三、这样结果就出来了:13/71与30/54的分子分母比较,        30-13=17,同样,71-54=17。答案是:这个数是17。          用同样的分析方法,我们可以解决下题:         分数55/64的分子减去一个数,分母加上同一个数后,得到      4/13,加上或减去的这个数是多少?(答案是:27)        我们也可以编题了,当然也要注意:分子分母减去或者加上同一个数后,所得到的分数要能约分。比如:        1、7/33 ,分子加上8,分母减去8,得15/25,约分得3/5。         编题:分数7/33的分子加上一个数,分母减去同一个数后变成3/5,加上的或减去的这个数是多少?         2、37/51,分子减去13,分母加上13,得24/64,约分得3/8。题目自己可以编了。         第三题、一个分数,它的分子加上24,分母加上54后,分数值不变。这个分数是多少?         分析:         一、要使分数的值不变,原来分数的分子和分母扩大的倍数要相同。那么,同文分子扩大了多少倍才能得到24,而分母也扩大相同的倍数才能得到54呢?我们只要找出这个相同的倍数,问题就迎刃而解了。         二、把24和54分别分解质因数: 24=2×2×2×3,54=2×3×3×3。它们相同的质因数是2和3,这个相同的倍数就是6。这样,24=4×6,54=9×6。原来的分数就是4/9。         三、验算:4/9,分子加上24,分母加上54得:                      (4+24)/(9+54)=28/63。把28/63约分结果得4/9,分数值不变。         用同样的分析方法,我们可以解决下题:         一个分数,它的分子加上90,分母加上525,分数值不变。这个分数是多少?(答案是6/35)         我们来编题,先确定两个相同的因数,如8,再确定一个最简分数,如5/8(它就是答案)。把分数5/8的分子、分母都乘以8,得到40/64,再把它的分子分母都减去8,得35/56,(当然,也可以把5/8的分子、分母直接乘以8-1=7。)这个35和56就是分子和分母分别加上的数了。题目编出来是:         一个分数,它的分子加上35,分母加上56后,分数的值不变。这个分数的多少?         第四题、一个分数,它的分母加上2,就变成2/5,如果分母减去3,就变成1/2。这个分数是多少?         分析:         一、这个分数只是分母变了,分子一直都没有变。当分母加上2、减去3后,所得的分数的分母就相差2+3=5。         二、所得的分数2/5和1/2的分子是2和1,现在把这两个分数化成分子相同的分数,再来分析分母。2/5,1/2=2/4。         三、2/5和2/4的分母相差1,要使分母相差5,就必须把分子分母都扩大5倍:         2/5=(2×5)/(5×5)=10/25         2/4=(2×5)/(4×5)=10/20        四、原来的分数是10/25的分母减去2(或者是10/20的分母加上3),得到的是10/23。         五、问题解决了,这个分数是10/23。         用同样的分析方法,解下面的问题:         1、一个分数的分母加上2就变成1/4,如果分母减去3就变成1/3,这个分数是多少?(是5/18)         2、一个分数的分母加上2就变成7/9,如果分母加上3变成    3/4,这个分数是多少?(是21/25)         编题提示         一、编题应注意的事项:         1、分子相同时,分母增大分数值会变小;反之,分母减小分数值会变大。         2、分母变化后,得到了两个分数,这两个分数中的一个分数的分子乘以另一个分数的分母所得积与一个分数的分母乘以另一个分数的分子所得积(我们暂且把它叫做交叉相乘的积),要相差1。         如:7/9与3/4,7×4=28,9×3=27,28与27相差是1。         3、还要考虑,所求出的分数一定要是最简分数。         二、现在我们来看如何编题         1、先确定两条:一是分母相差4,再是两个分数,如2/5和     3/7,并且交叉相乘的积相差1。         2、现在根据上面两个条件来编题:         (1)一个分数的分母加上2变成2/5,如果分母减去2就变成3/7,这个分数是多少?         试解题:2/5=6/15,3/7=6/14; 2/5=6/15=(6×4)/(15×4)=24/60,把分母60减去2得58,而24/58不是最简分数,所以不能这样编题。         (2)一个分数的分母加上1变成2/5,如果分母减去3就变成3/7,这个分数是多少?         同样,解题的步骤与上题差不多。         2/5=6/15=24/60,把分母60减去1得59,这样24/59是最简分数,题目可以这样编。         (3)一个分数的分母加上3变成2/5,如果分母减去1就变成3/7,这个分数是多少?         同样,把分母减去3得57,24/57不是最简分数,题目也不可以这样编。         3、如果我们把分母的差改成5,或者别的数,同样也可以编题。         如:一个分数的分母加上2变成2/5,如果分母减去3变成       3/7,这个分数是多少?         三、再深入一步         1、我们先找出两个相邻的合数,当然它们的差肯定是1了,如:21和22、20和21等。         2、把这两个合数写成两个因数的积。         如:21=3×7,22=2×11         3、根据“交叉相乘”,反推出两个分数:         2/7和3/11。         4、确定分母的差,比如是6。我们可以考虑以下的情况:         分母减去5,或者分母加上1; 分母减去4,或者分母加上2; 分母减去3,或者分母加上3; 分母减去2,或者分母加上4; 分母减去1,或者分母加上5。         5、根据上面5种情况,分别算出结果,如果是最简分数就可以编题,如果不是最简分数就弃之不用。         6、当然,分母的差也可以是别的数,这样又能够编出另外的题目了。         7、再如20和21,我们可以利用20=4×5和21=3×7推出两个分数4/7和3/5来编题,也可以利用20=10×2和21=3×7推出3/10和2/7来编题。还可以假设分母差是2、3、4、5……等,就可以编出更多的题目了。         8、再看24和25,我们可以推出3组分数是:5/6和4/5、2/5和5/12、5/8和3/5。用来编题就更加丰富多彩了。         四、更加深入分析         1、上面找出的两个合数的差是1,我们还可以找出是2、3、4、5、……的。但是,如果差是偶数的话,这两个合数不能也是偶数,否则答案就不是最简分数了。         2、举例:25和27。相差2,注意的是它们分母的差只能是2的倍数。        分析:25=5×5,27=3×9。推出两个分数是:3/5和5/9。        假设分母相差4, 题目是:分母减去3,或者分母加上1。我们先把3/5和5/9的分子变成相同,则是:3/5=15/25,   5/9=15/27。这两个分数的分母相差2,要使它们相差4,就要再乘以2,这样得到的两个分数是:30/50和30/54。通过推算,得到的答案是:30/53。        3、举例:25和28。相差3,分母之差应该是3的倍数。分析:25=5×5,28=4×7。推出两个分数:5/7和4/5。        设分母差是3(分母加1,或者分母减2), 5/7=20/28,4/5=20/25,得出答案是20/27。        设分母差是6(分母加3,或者分母减3), 5/7=40/56,4/5=40/50,答案是40/53。        分母差还是6(分母加5,或者分母减1), 得出的答案就是40/51。         4、如果两个合数的差是4,则其分母之差就应是4的倍数。        例:21和25,21=3×7,25=5×5,推出分数是5/7和3/5。         设分母差是4(分母减1,或者分母加3),则有 5/7=15/21,3/5=15/25,答案是15/22。          设分母差是8(分母减7,或者分母加1),则有 5/7=30/42,3/5=30/50,答案是30/49。         分母差是8的可以分母减5,或者分母加3,答案是30/47。还可以分母减1,或者分母加7,答案是30/43。         5、还有更多的举一反三,不再赘述。